Comparologie
WB1642 Werktuigkundig Ontwerpproject 2
Comparologie
Schaalmodellen zijn vaak een onderdeel van het ontwerpproces. We gebruiken ze wanneer het niet haalbaar is om proefmodellen en prototypes op ware schaal te maken. In het geval van een heel groot eindproduct, zoals een schip of een windmolen, spreekt dit voor zich. Het kan echter ook dat het eindproduct te klein is om te maken met de beschikbare technieken. Denk hierbij bijvoorbeeld aan de kleine elektromechanische componenten die in je telefoon zitten om versnellingen en het aardmagnetisch veld te meten.
Schaalmodellen gebruiken we om onze ontwerpkeuzes te evalueren. Echter heeft de schaling van het ontwerp naar een maakbare grootte ook effect op de prestaties van ons ontwerp. Het bestuderen en doorrekenen van dit effect noemen we comparologie1.
1 de term “comparologie” komt uit (Cool e.a. 2023, hfdst. 12). Dit hoofdstuk vormt ook de basis voor deze pagina en het bijbehorende college.
Geometrisch schalen
In veel gevallen zullen we een schaalmodel verkrijgen door alle afmetingen met dezelfde factor te vergroten of verkleinen. Dit noemen we geometrisch schalen. Hierbij hebben we het voordeel dat alle vormen die we ontworpen hebben behouden blijven. We zullen echter zien dat dat niet betekent dat de andere eigenschappen van het ontwerp ook hetzelfde blijven.
In deze uitleg zullen we voor verschillende gevallen bekijken wat het effect van geometrisch schalen is. Laten we echter eerst even teruggaan naar het filmpje waar we mee begonnen.
Schaling in het model van de baai van San Francisco
In Figuur 1 zagen we dat dit schaalmodel van de baai van San Francisco niet geometrisch geschaald was. De schalingsfactor in de horizontale richtingen is daar 1:1000, terwijl deze in de hoogte 1:100 is. Daarnaast zijn er koperen obstakels in het water geplaatst om de stroomsnelheid door de baai af te stellen. Daarmee is de tijdsschaling (ja, ook tijd kunnen we schalen) 1:100.
In dit geval is dit gedaan om alle onderdelen van het model goed te laten werken en een betrouwbare vertaling te kunnen maken van de eigenschappen van het schaalmodel naar de werkelijkheid. Dit was voornamelijk nodig om de stroming door de ondiepe delen goed te laten verlopen(San Francisco Bay Model Visitors Center, z.d.).
Een balk
We beginnen met een eenvoudig voorbeeld: wat gebeurt er met een balk wanneer we die geometrisch schalen?
Als origineel kijken we naar een aluminium balk met een lengte \(L\) van drie meter. De balk heeft een vierkante doorsnede met zijden \(w\) van 100mm en is eenzijdig ingeklemd.
Schaling van de massa
Met de dichtheid uit het formuleboekje2, kunnen we eenvoudig de massa van deze balk berekenen als het product van de dichtheid en het volume: \[m = \rho w^2L = 81{,}0\,\text{kg}\]
2 (van Beek 2024), pagina 31
Wat zal er gebeuren met deze massa wanneer we de balk geometrisch schalen met een factor \(S=0.1\)? Zowel de lengte, als beide breedtes van de doorsnede zullen dan een factor 10 kleiner worden. De dichtheid van het materiaal zal daarentegen niet veranderen.
\[ \begin{aligned} L &\rightarrow S \cdot L\\ w &\rightarrow S \cdot w\\ \rho &\rightarrow \rho \end{aligned} \]
Op deze schaal wordt de massa
\[ \begin{aligned} m_S&= \rho \left(wS\right)^2LS \\ &= \rho w^2 L S^3 \\ &= 0{,}0810\,\text{kg}. \end{aligned} \]
Door de balk in alle richtingen een factor tien kleiner te maken, wordt de massa dus een factor duizend (\(10^3\)) kleiner. Dit zagen we natuurlijk ook al terug in de formule, waar de schaalfactor \(S\) tot de derde macht in kwam te staan.
Schaling van de doorbuiging
Dat de massa met de derde macht van de schaalfactor verandert, kon je waarschijnlijk al wel bepalen op basis van je intuitie. Het wordt wat interessanter wanneer we kijken naar de doorbuiging van de balk onder zijn eigen gewicht.
Hiervoor kijken we opnieuw naar het formuleboekje3. Daar zien we dat de maximale doorbuiging van een balk onder een verdeelde belasting gegeven wordt door
3 (van Beek 2024), pagina 6
\[ \delta = \frac{qL^4}{8EI}. \]
Wanneer we geometrische schaling toepassen, zal natuurlijk de lengte \(L\) van de balk veranderen. Wat misschien minder voor de hand ligt, is dat ook de belasting \(q\) en het oppervlaktetraagheidsmoment \(I\) veranderen onder schaling. Van de vier symbolen in de formule, blijft alleen de elasticiteitsmodulus \(E\) constant.
De belasting \(q\) is hier het gevolg van het gewicht van de balk. Deze beschouwen we als een constante verdeelde belasting over de gehele lengte van de balk. Daarom geldt
\[ q = \frac{mg}{L} = \frac{\rho w^2 Lg}{L} = \rho g w^2. \]
Aangezien de dikte van de balk hier nog tot de tweede macht in staat, zal deze belasting dus met \(S^2\) schalen.
Het oppervlaktetraagheidsmoment van een vierkant profiel wordt gegeven door
\[ I = \frac{1}{12}w^4. \]
Deze zal dus met een factor \(S^4\) schalen.
Wanneer we dit allemaal samen nemen, krijgen we het volgende resultaat:
\[ \delta = \frac{3\rho L^4}{2Ew^2} \]
Hier zien we boven de deelstreep de lengte van de balk tot de vierde macht staan, en onder de deelstreep de breedte tot de tweede macht. Onder geometrisch schalen, zal de doorbuiging dus met de schaalfactor tot de tweede macht gaan:
\[ \delta_S = \frac{3\rho}{2E}\frac{S^4L^4}{S^2w^2} = \frac{3\rho L^4}{2Ew^2} S^2. \]
Wanneer we de balk tien keer zo klein maken, zal de doorbuiging door het eigen gewicht dus honderd keer zo klein worden.
Schaling van de Takelaar
In het project van dit jaar ontwerpen jullie een rijdende takelaar die over profiel moet kunnen rijden om het paslood naar de juiste plek op te tillen. Dit lijkt wel op wat een torenkraan doet, daar wordt de last ook verplaatst door een loopkat die over de giek rijdt. Een torenkraan is echter vaak veel groter dan wat jullie in dit project ontwerpen.
Stel we zouden het ontwerp van een rijdende takelaar opschalen naar het formaat van een torenkraan. Kunnen we het volledige ontwerp dan geometrisch schalen?
Aan het begin van de beweging zit alle energie opgeslagen in de veer. Die energie zal gebruikt worden om de takelaar in beweging te brengen en uiteindelijk ook om het paslood op te hijsen. Aan het einde van de beweging staat de takelaar weer stil. Dan is de veerenergie dus omgezet in de hoogteenergie van het paslood.
Wat gebeurt er met de maximale veerenergie die we mee kunnen nemen als gevolg van het geometrisch schalen?
In het formuleboekje4 vinden we dat de maximale kracht kracht en uitrekking van de veer als volgt berekend kunnen worden:
4 (van Beek 2024), pagina 8
\[ \begin{aligned} F_\text{max} &= \frac{\pi}{16}\frac{d^3}{r}\tau_\text{max}\\ f_\text{max} &= \frac{64 nr^3}{d^4G}F_\text{max}\\ &= \frac{4\pi nr^2}{Gd}\tau_\text{max}. \end{aligned} \]
Hierbij is \(d\) de diameter van de draad, \(r\) de diameter van de windingen, \(n\) het aantal windingen, \(G\) de glijdingsmodulus en \(\tau_\text{max}\) de maximale toelaatbare schuifspanning in het materiaal. Als we alleen kijken naar de onderdelen die veranderen met de grootte van de veer krijgen we
\[ \begin{aligned} F_\text{max} &\propto S^2\\ f_\text{max} &\propto S. \end{aligned} \]
Aangezien \(E_\text{max} = \frac{1}{2}F_\text{max}f_\text{max}\), vinden we dat
\[ E_\text{max} \propto S^3. \]
Wanneer we ons ontwerp dus geometrisch schalen met \(S=5\), zal de maximale energie-inhoud van de veer met een factor \(5^3 = 125\) toenemen. Aangezien voor de hoogte-energie geldt dat \(E_\text{hoogte} = mgh\), en we al eerder zagen dat de massa met \(S^3\) schaalt, kunnen we nu de schaling van de maximale hoogte bepalen.
Als alle energie uit de veer omgezet is naar hoogte-energie van het paslood geldt
\[\begin{align} E_\text{max} &= E_\text{hoogte}\\ &= m g h_\text{max}\\ h_\text{max} &= \frac{E_\text{max}}{mg}. \end{align}\]
Aangezien zowel de energie als de massa met \(S^3\) schalen, vinden we dat
\[ h_{max}\propto S^0. \]
Oftewel, wanneer we het ontwerp geometrisch schalen zal de maximale bereikbare hoogte niet veranderen. Om het ontwerp te vertalen naar een situatie zoals de torenkraan, zullen we dus meer moeten doen dan alleen geometrisch schalen.
Wrijving
In de bovenstaande berekeningen hebben we de wrijving in het systeem verwaarloosd. Het is echter ook interessant om te kijken wat er zou gebeuren met de wrijving in de wielen en lagers onder geometrisch schalen.
Voor de rolwrijving in de wielen geldt(van Beek 2024, p17)
\[ F_f = mg C_r \]
De wrijvingskracht is dus recht evenredig met de massa. Aangezien we al eerder zagen dat de massa met \(S^3\) schaalt, zal ook de wrijvingskracht met \(S^3\) schalen. De energie die we hieraan verliezen is gelijk aan de arbeid geleverd door deze kracht, dus
\[ E_f = F_f s, \]
waar \(s\) de afgelegde weg is. Aangezien we het gehele ontwerp opschalen, zal ook de af te leggen weg schalen met \(S\). De energie die we verliezen aan wrijving schaalt dus met \(S^4\).
Voor de wrijving in de lagers hebben we een vergelijkbare situatie. Daar weten we (van Beek 2024, p19) \[ M_f = \mu F R, \]
waar \(\mu\) de wrijvingscoefficient van het lager is, \(F\) de kracht op de as en \(R\) de straal van de as. De kracht op de as is hier weer gelijk aan het gewicht van het object, dus deze schaalt met \(S^3\). De straal van de as zal met \(S\) schalen. De wrijvingsmoment in het lager zal dus met \(S^4\) schalen.
Hieruit kunnen we weer de energie verliezen in het lager berekenen als
\[ E_f = M_f \theta, \]
met \(\theta\) de hoekverdraaiing van de as. Aangeizen de wielen meeschalen met het ontwerp, zal de hoekverdraaiing \(\theta\) niet veranderen onder geometrisch schalen. De energie die we verliezen aan wrijving in de lagers zal dus ook met \(S^4\) schalen.
Rendement
Het is nu interessant om naar het rendement te kijken. Aangezien de beschikbare energie uit de veer schaalt met \(S^3\), en de verliezen door wrijving met \(S^4\), zal het rendement van het systeem onder geometrisch schalen veranderen als
\[ \eta = \frac{E_\text{output}}{E_\text{input}} = \frac{E_\text{input} - E_f}{E_\text{input}} = 1 - \frac{E_f}{E_\text{input}}. \]
Aangezien \(E_f\) veel harder groeit onder schaling dan \(E_\text{input}\), zal het rendement van het systeem bij grotere schalingen flink afnemen.
Gelukkig zullen we in praktijk niet alles geometrisch schalen. De assen en lagers hoeven bijvoorbeeld vaak niet mee te schalen wanneer het benodigde bereik vergroot wordt, en ook de massa kunnen we vaak wel wat lager houden. Daardoor kunnen we de verliezen beperken en een acceptabel rendement behouden.
Een schaalmodel voor een horloge
Een horloge bestaat uit veel kleine onderdelen waar nauwkeurige en gespecialiseerde maakmethoden voor nodig zijn. Het is niet altijd mogelijk om prototypes voor een nieuw horlogeontwerp op ware schaal te maken. In plaats daarvan zal er vaak voor gekozen te worden om de eerste modellen op een grotere schaal dan het uiteindelijke horloge te maken.
De oscillator van een horloge is vaak een massa-veer systeem. Om de prestaties van het model op grote schaal goed te beoordelen, moeten we weten hoe de frequentie zal schalen wanneer we naar de uiteindelijke afmetingen gaan. In dit voorbeeld zullen we kijken naar dit gedrag.
In het formuleboekje5 zien we dat de eigenfrequentie van een massa-veer systeem gegeven wordt door
5 (van Beek 2024), pagina 9
\[\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}},\]
waar \(k\) de stijfheid van de veer is, en \(m\) de massa van het trillende object. Zoals we al eerder zagen, schaalt de massa \(m\) met \(S^3\). De kracht en uitrekking van een trekveer schalen, zoals we al eerder zagen, met respectievelijk \(S^2\) en \(S\). Daaruit volgt dat
\[ k = \frac{F}{f} \propto S. \]
Voor de eigenfrequentie geldt dus
\[ \begin{aligned} \omega_0&\propto \sqrt{\frac{S}{S^3}}\\ &\propto \frac{1}{S}. \end{aligned} \]
Wanneer we dus een schaalmodel maken dat vier keer zo groot is, moeten we dit ontwerpen op een eigenfrequentie de een kwart is van wat deze in het uiteindelijke horloge moet zijn.
Deze schaling komen we in veel gevallen tegen: hoe groter en zwaarder een object is, hoe lager zijn eigenfrequentie meestal zal zijn. Dit is ook meteen waarom een grote kerkklok lager klinkt dan een kleinere klok.
Opvallend is dat we deze schalingsverhouding ook tegenkomen bij strijkinstrumenten. Een cello is ongeveer twee keer zo groot als een viool. De grondtoon van een cello is dan ook de helft van die van een viool. Dit komt precies overeen met een octaaf.
Afsluiting
Een veelvoorkomende manier van schaalmodellen maken is om het ontwerp geometrisch te schalen. Daarbij worden alle afmetingen met dezelfde factor \(S\) vermenigvuldigd.
Wanneer we dit doen, heeft dit ook effect op de prestaties en eigenschappen van het model. Ook al worden alle verhoudingen tussen de afmetingen behouden, dat betekent niet dat ook de andere eigenschappen, zoals massa, stijfheid en eigenfrequentie behouden blijven.
In de voorbeelden die we hier besproken hebben zagen we dat bij geometrisch schalen het volume en de massa van het ontwerp met \(S^3\) vermenigvuldigd worden. De stijfheid van een trekveer schaalt met \(S^2\), en de maximale energieinhoud van deze veer gaat met \(S^3\). Tenslotte zagen we dat de eigenfrequentie van een massa-veer systeem schaalt met \(S^{-1}\).
Bij het ontwerpen van schaalmodellen zullen we hier rekening mee moeten houden. De prestaties van het model op de ware grootte (of deze nou kleiner of groter is dan ons schaalmodel) kunnen immers flink afwijken van die van ons schaalmodel. Door de schaling van de prestatiecriteria goed in de gaten te houden, kunnen we ons ervan verzekeren dat de prestaties van ons uiteindelijke ontwerp overeenkomen met de eisen.