mindmap
root((Vermoeiing))
Levensduurbenaderingen
Spanningslevensduur
S-N curven
Hoog-cyclisch HCF
Reklevensduur
Laag-cyclisch LCF
Ontwerpcriteria
Oneindige levensduur
Veilige levensduur
Faalveilig
Schadetolerant
Vermoeiingslevensduur
Belastingsspectrum
Palmgren-Miner regel
Spanningsconcentraties
Vermoeiing en Levensduur
WB1643 Werktuigkundig Ontwerpproject 3
T1
faalmechanica
De Treinramp van Eschede
Op 3 juni 1998 reed de hogesnelheidstrein ICE 884 “Wilhelm Conrad Röntgen” van München richting Hamburg. Om 10:59 uur, bij een snelheid van circa 200 km/u nabij het Noord-Duitse Eschede, brak een wieldband: een stalen ring die om de kern van het wiel gespannen zat. Het losgeraakte stuk wiel sloeg een rijdende wissel om, waarna de eerste wagons derailleerden en het betonnen wegviaduct over het spoor op de nakomende wagons neerstortte. Van de 299 inzittenden kwamen 101 mensen om het leven en raakten 88 ernstig gewond.
Reconstructie: van scheur tot catastrofe
Het breukvlak van de wielband vertoonde duidelijke beachmarks: boogvormige strepen die de opeenvolgende posities van het scheurfront markeren tijdens het groeiproces. Dit zijn de kenmerkende sporen van een vermoeiingsbreuk die zich over duizenden kilometers langzaam heeft uitgebreid. De scheur was al vóór de fatale rit aanwezig, maar werd tijdens de reguliere inspecties niet ontdekt — mede omdat de inspectieprocedure niet was afgestemd op het nieuwe wieltype.
Het wiel
Het ICE 401-wiel week af van het traditionele massieve stalen wiel. Een rubberring tussen de wielband en de kern moest trillingen dempen en het rijcomfort verbeteren. Dit innovatieve ontwerp bleek echter gevoeliger voor vermoeiing dan verwacht: rondom de rubberring konden lokaal hoge spanningen optreden die de wielband sneller deden verouderen dan bij het massieve ontwerp het geval was. Bovendien was de inspectiemethode — visuele controle en maatinspectie, ontworpen voor massieve wielen — niet in staat om een groeiende inwendige scheur tijdig te detecteren. De combinatie van onvoldoende vermoeiingstests en een inadequate inspectiestrategie leidde tot de ramp.
Wat de ontwerpers misten
De Eschede-ramp illustreert waarom kennis van vermoeiing onmisbaar is in het ontwerpproces van veiligheidskritische componenten. Het wielontwerp was nieuw en comfortabeler dan het conventionele massieve stalen wiel, maar de vermoeiingseigenschappen waren onvoldoende getest en de inspectieprocedures waren niet afgestemd op het nieuwe wieldtype. De vermoeiingsscheur groeide onopgemerkt over honderden kilometers, totdat de wielband brak met catastrofale gevolgen.
Dit college behandelt de basisconcepten om vermoeiingsfalen te voorspellen en te voorkomen: van de S-N curve en ontwerpcriteria tot de Palmgren-Miner regel en spanningsconcentraties.
Leerdoelen
Na dit college kun je:
- Het verschil tussen spanningslevensduur en reklevensduur uitleggen
- Een S-N curve interpreteren en gebruiken voor levensduurberekeningen
- De ontwerpcriteria voor vermoeiingsbestendig ontwerpen benoemen en toepassen
- De Palmgren-Miner regel toepassen voor een belastingsspectrum
Spanningslevensduur
De S-N curve
De S-N curve (Wöhlercurve) is een empirische relatie die vastgesteld wordt door proefstukken cyclisch te belasten met een constante spanningsamplitude \(\Delta\sigma_R\) bij een volledig omgekeerde belasting, totdat ze breken. Door de resulterende combinaties van amplitude en levensduur in een log-log diagram uit te zetten, ontstaat in het HCF-gebied een rechte lijn — de grafische uitdrukking van de machtsvergelijking.
Drie gebieden zijn te onderscheiden:
- het laag-cyclische gebied (\(N < 10^3\)–\(10^4\)) waar plastische vervorming dominant is
- het hoog-cyclische gebied (\(10^4\)–\(10^7\))
- het gebied van oneindige levensduur boven \(10^7\) cycli.
De S-N machtsvergelijking
De rechte lijn in het log-log S-N diagram komt overeen met een machtsvergelijking. Met een bekend referentiepunt \((N_K, \Delta\sigma_K)\) op de curve — bijvoorbeeld het kniepunt bij de vermoeiingsgrens — kan de levensduur bij een willekeurige amplitude worden berekend. De helling \(m\) is een materiaalparameter. De helling van de curve in het log-log diagram is \(-1/m\): een hogere \(m\) betekent een vlakkere curve. Voor gelaste constructiestaalverbindingen geeft de Eurocode \(m = 3\); voor gladde proefstaven ligt \(m\) typisch tussen 8 en 12. Aluminium heeft een nog vlakkere HCF-helling: voor 6061-T1 is \(m \approx 15\). Merk op dat aluminium wél een vlakkere curve heeft dan staal, maar géén vermoeiingsgrens: de curve daalt onbeperkt door.
We benaderen een segment van de S-N curve met
\[\frac{N_R}{N_i} = \left(\frac{\Delta\sigma_i}{\Delta\sigma_R}\right)^m\]
| Symbool | Betekenis |
|---|---|
| \(N_R\) | Levensduur bij \(\Delta\sigma_R\) |
| \(N_i\), \(\Delta\sigma_i\) | Referentiepunt op de curve |
| \(m\) | Helling van de S-N curve in log-log diagram |
In veel gevallen zullen we, op basis van het materiaal dat gebruikt wordt, de bijbehorende S-N curve opzoeken. Door twee punten (\(N_R\), \(\sigma_R\)) en (\(N_i\), \(\sigma_i\)) op de curve te gebruiken, kunnen we deze benadering gebruiken om de bijbehorende exponent \(m\) te bepalen.
Vermoeiingsgrens \(\Delta\sigma_e\)
Bij staal treedt bij hoog-cyclische belasting een karakteristiek kniepunt op: beneden een bepaalde spanningsamplitude \(\Delta\sigma_e\) accumuleert praktisch geen schade meer en kan de component theoretisch oneindig lang meegaan. Voor gewoon constructiestaal geldt als vuistregel \(\Delta\sigma_e \approx 0{,}5 \cdot R_m\), waarbij \(R_m\) de treksterkte is. Dit kniepunt ontstaat doordat bij lage amplitudes de dislokatiebewegingen in het kristalrooster niet langer cumulatief zijn.
Aluminium en de meeste non-ferrometalen hebben dit kniepunt niet: de S-N curve daalt ook bij het hogere aantal cycli door, al vlakt de helling wel enigszins af. Voor deze materialen wordt een conventionele vermoeiingsgrens gedefinieerd bij een afgesproken aantal cycli (vaak \(10^7\) of \(5 \times 10^8\)), maar dit is een ontwerpconventie, geen fysieke grens. Dit betekent dat voor aluminium constructies altijd een eindige levensduur ontworpen moet worden.
Invloedsfactoren op de S-N curve
De S-N curve die uit proefstukken volgt, geldt voor een gepolijste, kleine, cilindrische staaf onder roterende buiging. In de praktijk wijken veel onderdelen hier op meerdere punten van af. Het effect hiervan passen we toe in de spanningsconcentratiefactor \(K_f\). Deze vergroot de referentiespanning hoger, en bereik je dus ook sneller de vermoeiingsgrens.
De praktische aanpak is om de factor toe te passen op de optredende wisselspanning \(\Delta\sigma_R\), zodat je een equivalente spanning krijgt die je direct kunt aflezen op de ongewijzigde S-N curve:
\[\Delta\sigma_{R,\text{eff}} = K_f \Delta\sigma_R\]
Waar \(K_f > 1\) is en afhankelijk van de geometrie en oppervlaktekwaliteit van het onderdeel.
Omdat de factor \(K_f\) altijd groter of gelijk aan 1 is, verhoogt deze de effectieve spanning \(\Delta\sigma_{R,\text{eff}}\) ten opzichte van de werkelijke wisselspanning \(\Delta\sigma_R\). Het component gedraagt zich als een proefstuk dat zwaarder belast wordt. Met \(\Delta\sigma_{R,\text{eff}}\) lees je de bijbehorende levensduur \(N_R\) direct af van de standaard S-N curve.
Reklevensduur
De S-N benadering gaat uit van elastisch gedrag. Zodra de spanning de vloeispanning \(S_y\) overschrijdt, treedt er per cyclus plastische vervorming op — dan is de S-N curve niet meer geldig.
Wanneer reklevensduur?
Bij laag-cyclische belasting of wanneer de spanning de vloeispanning overschrijdt, is de rek \(\varepsilon\) een betere maat voor de vermoeiingsbelasting dan de spanning. De \(\varepsilon\)-N curve bestaat uit een elastische component (Basquin) en een plastische component (Coffin-Manson). In het LCF-gebied domineert de plastische bijdrage; in het HCF-gebied de elastische. Het snijpunt markeert de overgang. In de ingenieurspraktijk geldt als vuistregel dat spanningslevensduur geldig is zolang de spanning elastisch blijft en het aantal cycli boven \(10^4\) ligt.
Vuistregels:
| Situatie | Aanpak |
|---|---|
| \(\sigma_\text{max} < S_y\) en \(N > 10^4\) | Spanningslevensduur (S-N) |
| \(\sigma_\text{max} \gtrsim S_y\) of \(N < 10^4\) | Reklevensduur (\(\varepsilon\)-N) |
. . .
Typische toepassingen: drukvaten, turbinebladen (thermische cycli), seismische belasting, persverbindingen
Ontwerpcriteria
Overzicht
Vermoeiingsbestendig ontwerpen vereist dat de ontwerper een expliciet criterium kiest waartegen de levensduur getoetst wordt. Er zijn vier gangbare ontwerpcriteria, elk met een eigen filosofie over hoe met onzekerheid en schade wordt omgegaan. De keuze hangt af van de toepassing, de mogelijkheid om te inspecteren of te vervangen, en de veiligheidseisen die gelden voor de component.
| Criterium | Principe | Wanneer |
|---|---|---|
| Oneindige levensduur | \(\Delta\sigma_R \leq \Delta\sigma_e'\) altijd | Simpele geometrie, staal |
| Veilige levensduur | Berekende levensduur + veiligheidsfactor | Luchtvaart, automotive |
| Faalveilig | Veilige faaltoestand bij overbelasting | Gevaarlijk falen onaanvaardbaar |
| Schadetolerant | Scheurgroei bewaken + inspecties | Luchtvaart (standaard), civiel |
Oneindige levensduur
\[\Delta\sigma_R \leq \Delta\sigma_e'\]
Ontwerp zo dat de spanning altijd onder de vermoeiingsgrens blijft.
Beperkingen:
- Alleen voor staal (\(\Delta\sigma_e\))
- Leidt tot zware constructies bij hoge belastingen
- Onpraktisch bij variabele amplitude
Oneindige levensduur is het meest conservatieve ontwerpcriterium: de spanning blijft altijd onder de vermoeiingsgrens, zodat er theoretisch geen vermoeiingsschade accumuleert. Dit garandeert een onbeperkte levensduur, mits de belasting representatief blijft voor de gebruiksfase. Voor staal met een duidelijke vermoeiingsgrens is dit een praktisch toepasbaar criterium; voor aluminium ontbreekt een echte grens en is een eindige levensduur onvermijdelijk.
Veilige levensduur
- Bepaal \(N_R\) uit S-N curve
- Veiligheidsfactor: \(N_\text{design} = N_R / n\) \((n \approx 4\text{–}6)\)
- Vervang of keur af bij \(N_\text{design}\)
Bij de veilige levensduurmethode wordt de verwachte levensduur \(N_R\) berekend uit de S-N curve bij de optredende spanningsamplitude. Een veiligheidsfactor \(n\) (typisch 4–6) reduceert dit tot de ontwerplevensduur \(N_\text{design}\). Bij het bereiken van \(N_\text{design}\) wordt de component vervangen of afgekeurd, ongeacht de zichtbare conditie. De wielband van de ICE-trein had een veilige levensduur moeten hebben — de scheur zou dan nooit de kans hebben gekregen om fataal te worden.
Faalveilig ontwerp
Bij falen gaat het systeem naar een veilige toestand — functioneren is niet gegarandeerd
Bij faalveilig ontwerp is het faalmechanisme zelf zo gekozen dat falen de situatie niet gevaarlijker maakt. De component mag ophouden met functioneren — dat is acceptabel — maar catastrofale of gevaarlijke gevolgen zijn uitgesloten door ontwerp. Een smeltzekering is het meest directe voorbeeld: bij overbelasting smelt de draad en onderbreekt de stroom. Het apparaat werkt niet meer, maar brand of schade aan andere onderdelen wordt voorkomen. Andere voorbeelden zijn een breekpen in een aandrijfas (beschermt de machine bij vastlopen) of een overdrukventiel in een drukvat.
Het onderscheid met redundant ontwerp is belangrijk: een redundant systeem blijft functioneren na het falen van een onderdeel (de last wordt overgenomen). Bij faalveilig ontwerp stopt het systeem, maar veilig.
Schadetolerant ontwerp
Schadetolerant ontwerp gaat ervan uit dat schade — scheuren, corrosie, impactschade — onvermijdelijk aanwezig is of zal optreden tijdens de levensduur. In plaats van te ontwerpen zodat schade nooit optreedt, wordt de constructie zo gedimensioneerd dat een aanwezige scheur langzaam genoeg groeit om tijdig te worden ontdekt en gerepareerd vóórdat bezwijken optreedt. De brug op de foto is een goed voorbeeld: de scheur in het stalen onderdeel is zichtbaar en detecteerbaar bij periodieke inspectie. Zolang inspecties frequent genoeg plaatsvinden en de scheurgroeisnelheid bekend is, kan de constructie veilig in gebruik blijven.
Het schadetolerant criterium vereist daarom drie dingen:
- kennis van de scheurgroeisnelheid (beschreven door de Paris-wet, \(\text{d}a/\text{d}N = C \cdot \Delta K^m\))
- een inspectiestrategie die garandeert dat scheuren worden gevonden vóórdat ze kritisch worden,
- een kritische scheurlengte \(a_c\) waarboven de reststerkte onvoldoende is.
Dit criterium is de standaard in de luchtvaart en wordt steeds vaker toegepast in de civiele techniek en offshore-industrie.
Vermoeiingslevensduur
Belastingsspectrum
Tot nu toe is uitgegaan van een constante spanningsamplitude. In werkelijkheid varieert de belasting op een component voortdurend: een fiets rijdt over hobbels, een vliegtuig vliegt door turbulentie, een machine wordt belast en ontlast. Om de levensduur in deze situaties te berekenen, moet het belastingssignaal eerst worden omgezet naar een spectrum — een overzicht van hoeveel cycli er optreden bij elke spanningsamplitude. Dit gebeurt met de rainflow-telmethode, die cyclische pieken identificeert in een willekeurig tijdsignaal.
Werkelijke belastingen variëren in de tijd — variabele amplitude.
Een belastingsspectrum geeft de verdeling van spanningsamplitudes:
- Hoeveel cycli \(n_i\) treden op bij spanningsniveau \(\Delta\sigma_i\)?
- Vastgesteld via rainflow-tellen op een gemeten signaal
. . .
Een directe toepassing van de S-N curve is niet mogelijk — we hebben een methode nodig om schade te cumuleren.
Palmgren-Miner Regel
De Palmgren-Miner regel is de meest gebruikte methode voor schadecumulatie bij variabele amplitude. De aanname is dat schade lineair accumuleert: elk spanningsniveau \(\Delta\sigma_i\) draagt een relatieve schade \(n_i/N_i\) bij, waarbij \(n_i\) het werkelijk opgetreden aantal cycli is en \(N_i\) de levensduur bij dat niveau (afgelezen van de S-N curve). Wanneer de cumulatieve schade \(D = 1\) bereikt, wordt falen verwacht. Een belangrijke beperking is dat de methode geen rekening houdt met volgorde-effecten: de volgorde van hoge en lage amplitudes beïnvloedt in werkelijkheid de scheurgroei, maar de Miner-regel maakt dit onderscheid niet.
\[D = \sum_i \frac{n_i}{N_i} \leq 1\]
| Symbool | Betekenis |
|---|---|
| \(n_i\) | Aantal optredende cycli bij \(\Delta\sigma_i\) |
| \(N_i\) | Levensduur bij \(\Delta\sigma_i\) (S-N curve) |
| \(D\) | Cumulatieve schade — falen bij \(D = 1\) |
Bij de berekening van de schadefractie is het vaak handig om de gegenereerde schade per spanningsniveau in een tabel te zetten:
| \(i = 1\) | \(i = 2\) | \(\cdots\) | Totaal | |
|---|---|---|---|---|
| \(\Delta\sigma_i\) (MPa) | \(\Delta\sigma_1\) | \(\Delta\sigma_2\) | \(\cdots\) | |
| \(n_i\) | \(n_1\) | \(n_2\) | \(\cdots\) | |
| \(N_i\) | \(N_1\) | \(N_2\) | \(\cdots\) | |
| \(D_i = n_i/N_i\) | \(D_1\) | \(D_2\) | \(\cdots\) | \(D = \sum D_i\) |
\[L = \frac{T}{D}\]
De meting beslaat een tijdsduur \(T\) (bijvoorbeeld één vlucht, één rijcyclus, of één jaar belasting). De totale schade per meting is \(D\). Als de meting representatief is voor het gebruik, geeft \(L = T/D\) de gemiddelde levensduur van de component.
Uitgewerkt voorbeeld
We gebruiken de waarden uit het belastingsspectrum hierboven en een S-N curve voor een gelaste staalverbinding (Eurocode detailklasse FAT 80): \(m = 3\), referentiepunt \((N_R,\,\Delta\sigma_R) = (2 \times 10^6,\; 80\;\text{MPa})\). De levensduur per spanningsniveau volgt uit:
\[N_i = N_R \left(\frac{\Delta\sigma_R}{\Delta\sigma_i}\right)^m = 2 \times 10^6 \left(\frac{80}{\Delta\sigma_i}\right)^3\]
| \(i=1\) | \(i=2\) | \(i=3\) | \(i=4\) | \(i=5\) | Totaal | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\Delta\sigma_i\) (MPa) | 180 | 130 | 80 | 45 | 20 | |
| \(n_i\) | 4 | 18 | 70 | 200 | 500 | |
| \(N_i\) | \(1{,}76 \times 10^5\) | \(4{,}66 \times 10^5\) | \(2{,}00 \times 10^6\) | \(1{,}12 \times 10^7\) | \(1{,}28 \times 10^8\) | |
| \(D_i = n_i/N_i\) | \(2{,}28 \times 10^{-5}\) | \(3{,}86 \times 10^{-5}\) | \(3{,}50 \times 10^{-5}\) | \(1{,}78 \times 10^{-5}\) | \(3{,}91 \times 10^{-6}\) | \(\mathbf{1{,}18 \times 10^{-4}}\) |
De totale schade per meetperiode is \(D = 1{,}18 \times 10^{-4}\). Als het spectrum één dag belasting representeert (\(T = 1\;\text{dag}\)), volgt de verwachte levensduur:
\[L = \frac{T}{D} = \frac{1\;\text{dag}}{1{,}18 \times 10^{-4}} \approx 8{.}500\;\text{dagen} \approx \mathbf{23\;\text{jaar}}\]
Opvallend is dat niet het hoogste spanningsniveau (\(\Delta\sigma_1 = 180\) MPa, slechts 4 cycli per dag) de meeste schade veroorzaakt, maar het middelste niveau \(\Delta\sigma_2 = 130\) MPa (18 cycli/dag) dat ruim een derde van de totale schade bijdraagt. Dit illustreert dat frequentie en amplitude samen bepalend zijn.
