Massa-Veer Systemen
Massa-Veer Systemen
Opgave 1
We bekijken een lange dunne balk met een puntmassa m = \text{1,0 kg} aan het uiteinde. De balk is gemaakt van aluminium en heeft een lengte L= \text{1,0 m}. De doorsnede van de balk is massief vierkant en heeft een dikte d. In de volgende vragen gaan we er vanuit dat de massa van de balk zelf verwaarloosbaar is. Onder invloed van de massa buigt het eindpunt van de balk door. De uitwijking van dit eindpunt is \delta_{stat} = \text{5,0 mm}.
1a
Toon aan dat de effectieve stijfheid aan het uiteinde van de balk k_{eff}= \text{1,96}\frac{\text{kN}}{\text{m}}.
1b
Bereken de eigenfrequentie van de balk in Hz
1c
Bereken de dikte d van de balk. Gebruik hierbij de formules en gegevens uit het formuleboekje
Opgave 2
Een vijf meter lang aluminium (6061) kokerprofiel van 30 bij 40mm doorsnede met een wanddikte van 2,0mm is aan een uiteinde einde ingeklemd, de andere kant is vrij om te bewegen. Omdat niet de hele balk even ver uitwijkt bij trillingen geldt dat de effectieve massa voor de eerste eigentrilling gelijk is aan m_{eff}= \text{0,2357}m_{balk}.
2a
Toon aan dat de eerste eigentrilling van deze balk plaatsvindt bij \omega_0 = \text{1,37Hz}.
2b
Een ninjabrugger met een massa van 2,0kg wordt op het vrije uiteinde van de balk geplaatst. Hoeveel verder buigt de balk door als gevolg van de ninjabrugger?
2c
In de ninjabrugger bevindt zich een motor die niet goed gebalanceerd is. Hierdoor trilt de brugger met een frequentie van 1,37Hz. Beschrijf de beweging van de balk als gevolg van deze opgelegde trilling.
Opgave 3
Beschouw een kratje met massa m_2 waarin een kwetsbaar onderdeel met massa m_1 tussen twee dezelde veren is opgehangen. Als gevolg van de massakracht is de statische uitwijking \delta_{stat} \text{=1 mm}.
Gegeven: massa m_1= \text{1 kg}, massa m_2= \text{0.3 kg}, statische verplaatsing \delta_{stat} = \text{1 mm}, valhoogte h=\text{0.55 m}
3a
Hoe groot is de stijfheid k (in N/m zonder decimalen) van elk van de veren.
3b
Het kratje valt vanaf een hoogte h op de vlakke bodem en zal nauwelijks vervormen of opveren. Bij het botsen ontstaat wel een massakracht op het kritische onderdeel dat tussen de veren is opgehangen.
Ga in de vervolgvragen uit van een effectieve stijfheid van de twee veren samen van k' = \text{1}\cdot \text{10}^4 \text{N/m}.
Bereken de versterkingsfactor A = \delta_{dyn}/\delta_{stat} (met 1 decimaal) en de maximale kracht op de kwetsbare massa F_{max} (in N zonder decimalen) tijdens de botsing.
3c
Met welke frequentie f_0 (in Hz zonder decimalen) zal de kwetsbare massa binnen het omhulsel op en neer bewegen na de val?
Opgave 4
Beschouw een kratje met massa m_2 waarin een kwetsbaar onderdeel met massa m_1 tussen twee dezelde veren is opgehangen.
Gegeven: Massa m_1= \text{1 kg}
massa m_2= \text{0.3 kg}
valhoogte h= \text{0.55 m}
stijfheid per veer k = \text{3}\cdot\text{10}^4 \text{N/m}
\delta_{max}= (1 + \sqrt{1 + \frac{2h} {\delta_{stat}}})\delta{stat}
4a
Hoe groot is de effectieve stijfheid k (in N/m zonder decimalen) van de twee veren samen.
4b
Ga in de vervolgvragen uit van een effectieve stijfheid van de twee veren samen van k' = \text{4}\cdot \text{10}^4 \text{N/m}.
Bereken de statische uitwijking van de massa m_1 die is opgehangen in de veren \delta_{stat} en vervolgens de maximale uitwijking van de massa m_1 als gevolg van de botsing \delta_{max} (in mm met 2 decimalen). Het kratje zelf zal bij de botsing nauwelijks nog opveren (opspringen).
4c
Bereken de maximale kracht op de kwetsbare massa F_{max} (in N zonder decimalen).
4d
Met welke frequentie f_0 (in Hz zonder decimalen) zal de kwetsbare massa binnen het omhulsel op en neer bewegen na de val?
Opgave 5
Een skateboard is voorzien van vering. Onderzocht wordt wat de belasting is op de wiellagers wanneer het skateboard van h = \text{1 meter} hoogte valt en op 4 wielen terecht komt. Het eigen gewicht van de skateboard m_s = \text{1.2 kg}. De massa van de wielen mogen klein worden verondersteld ten opzichte van de massa van het skateboard.
In het college is de formule afgeleid waarmee de potentiele energie van een massa met valhoogte h gelijk gesteld is aan de veerenergie bij een valhoogte h plus een veerweg \delta. Hierin is \delta_{max} de maximale indrukking van de veren bij het vallen.
\delta_{max}= (1 + \sqrt{1 + \frac{2h} {\delta_{stat}}})\delta{stat}
5a
Als gevolg van een externe belasting van m_a = \text{80 kg} is de veerweg x = \text{2 cm}. De veren zijn niet voorgespannen. Hoe groot is de effectieve stijfheid k' (in \text{10}^4 \ \text{N/m} met twee decimalen) van de vering van het skateboard (van de 4 wielen samen).
5b
Ga in de vervolgvragen uit van een effectieve stijfheid van het skateboard van k' = \text{4}\cdot \text{10}^4 \text{N/m}.
Bereken de maximale indrukking van de veren bij het vallen \delta_{max} (in mm met 2 decimalen).
5c
Bereken de maximale kracht bij het vallen op elk van de lagers F_max (in N zonder decimalen).
5d
Na het botsen op de ondergrond zal het skateboard omhoog veren. Hoe hoog zal het skateboard omhoog veren als er geen demping aanwezig is.
a) Het skateboard zal terugveren tot de statische toestand. Dit is de situatie waarbij het skateboard op de grond in rust is.
b) Het skateboard zal terugkomen op de hoogte waarop het is losgelaten minus \delta_{max}
c) Het skateboard komt terug op dezelfde hoogte als waarop het is losgelaten.
d) Het skateboard zal na een val van h+\delta_{max} met 2\delta_{max} omhoog veren.
Opgave 6
Beschouw een stijf omhulsel van een produkt met massa m_1 waarin een kwetsbaar onderdeel met massa m_2 in veren is opgehangen.
Massa m_1= \text{1 kg}
Massa m_2= \text{0.3 kg}
Valhoogte h= \text{0.55 m}
Stijfheid k = \text{3}\cdot\text{10}^4 \text{N/m}
\delta_{max}= (1 \pm \sqrt{1 + \frac{2h} {\delta_{stat}}})\delta{stat}
6a
Hoe groot is de effectieve stijfheid k' (in 104 N/m zonder decimalen) van de twee veren samen.
6b
Ga in de vervolgvragen uit van een effectieve stijfheid van de twee veren samen van k' = \text{4}\cdot \text{10}^4 \text{N/m}.
Bereken de maximale veerweg van de kwetsbare massa tijdens de botsing \delta{max} (in mm met 2 decimalen).
6c
Bereken de maximale kracht op de kwetsbare massa F_{max} (in N zonder decimalen).
6d
Met welke frequentie f_0 (in Hz zonder decimalen) zal de kwetsbare massa binnen het omhulsel op en neer bewegen na de val?
Opgave 7
Beschouw een Klimmende Stapelaar (KS) die tot een hoogte h in een buis is geklommen en plotseling de grip met de paal volledig verliest en op de grond botst.
Bij de botsing zal de potentiële energie worden omgezet in de energie waarmee een wiel elastisch wordt ingedrukt door middel van een schroefveer met stijfheid k. Veronderstel een lineair elastische vervorming (vervorming evenredig met kracht).
Bereken de benodigde veerstijfheid en de maximale indrukking bij een valhoogte van h = \text{0.5m} waarbij de kracht op het wiel beperkt blijft tot F_{max} = \text{20}m_a \cdot g waarbij m_a = \text{3kg}.
Volg hiervoor de volgende drie stappen:
7a
Bereken de versterkingsfactor A_m = \delta_{dyn} / \delta_{stat}. Hierin is \delta een maat voor de indrukking van de veer.
7b
Geef de vergelijking voor \delta_{stat} als functie van A_m en de hoogte h. Bereken vervolgens de waarde van \delta_{stat} en \delta_{dyn}. (antwoord in mm met 2 decimalen nauwkeurigheid).
7c
Bereken de benodigde effectieve stijfheid k (in \text{10}^3 \text{Nm} met 1 decimaal).
Opgave 8
Beschouw een Klimmende Stapelaar (KS) die tot een hoogte L plotseling de grip met de paal volledig verliest en tegen de grond botst. in een buis is geklommen en Bij de botsing zal de potentiële energie worden omgezet in de energie waarmee een wiel elastisch wordt ingedrukt. Het wiel is zodanig ontworpen dat behalve de veer, ook de band en zelfs de naaf elastisch wordt ingedrukt. Veronderstel een lineair elastische vervorming (vervorming evenredig met kracht). De totale elastische vervorming bij een statische belasting als gevolg van de massa m_a = \text{3.5kg} bedraagt \delta_{tot}= \text{15mm}.
Bereken de valhoogte waarbij de kracht op het wiel niet hoger wordt dan F_{max} = \text{350 N}. Volg hiervoor de volgende twee stappen:
8a
Bereken de indrukking van het wiel \delta_{dyn} die ontstaat bij F_{max} (antwoord in mm, geen decimalen nodig).
8b
Bereken de gevraagde valhoogte h (antwoord in meters met 2 decimalen nauwkeurigheid).
Opgave 9
Een wasmachinetrommel met inhoud heeft een massa m_a = \text{10kg}. De wasmachinetrommel is opgehangen in dempers (veren met demping). Als gevolg van de massa ma ontstaat een statische uitwijking van x_0 = \text{20 mm}. Het toerental waarmee de trommel rond draait is n=\text{1200 omw/min}. Bij dit toerental blijkt de trommel met een amplitude X te slingeren.
9a
Bereken de effectieve stijfheid k van de in schokbrekers (veren met demping) opgehangen trommel.
9b
Bereken de eigenfrequentie f_0 \text{(Hz)} van het massaveersysteem.
9c
De dempers blijken kapot, maar de trommel is nog wel verend opgehangen. Neemt de amplitude X dan toe of af bij een hoger toerental. Baseer het antwoord op het rekenresultaat van vraag b)
Opgave 10
Een shaker motor staat op een verende tafel die alleen op en neer kan bewegen. De rotor van de motor heeft een bewust aangebrachte onbalans. De onbalans resulteert in een roterende kracht F_c. De verticale component van deze kracht resulteert er in dat de montagetafel op en neer beweegt. De kracht in verticale richting is f(t) = F_csin(\omega t).
De massa van de montagetafel is m_t = \text{8kg}, van de motorshaker m_m= \text{5kg} (incl rotor). De massa van de rotor in de motorshaker m_r = \text{3kg}. De excentriciteit van het massamiddelpunt (zwaartepunt) van de rotor bedraagt z = \text{4mm}. Als gevolg van de massa van de motorshaker (statische belasting) blijken de veren x_0 = \text{12mm} te worden ingedrukt.
10a
Bereken de effectieve stijfheid k’ van de in veren opgehangen montagetafel.
10b
Bereken de eigenfrequentie f_0\text{[Hz]} van het massaveersysteem (bewegende massa is shaker + montagetafel).
10c
Bereken de centrifugaalkracht bij een toerental van n = \text{2850 omw/min}
10d
Bereken de amplitude X waarmee de montagetafel op en neer beweegt bij een toerental n = \text{2850 omw/min} (gebruik de formules in het formuleboekje op pagina 9).
10e
Als de uitwijking van de tafel tegengesteld gericht is aan de centrifugaalkracht draait de rotor dan onder kritisch of bovenkritisch?